勾股定理是谁发现的？

沈阳老张

描述直角三角形三条边关系的定理由古代人们在测量实践中总结而得，在中国、埃及、巴比伦的文化遗迹中均有所记载。我国古称直角边为“勾”与“股”，斜边为“弦”或“径”，因而将这条定理称为“勾股定理。这条定理是谁首次在理论上阐明的？

　　西方数学史家通常归功于古希腊哲学家毕达哥拉期，并称之为“毕达哥拉斯定理”。不过。即使在西方，历来也有不少学者对此存疑。因为毕氏及其门徒搞秘密结社，“作而不述”，秘而不宣，后来分裂为科学派和宗教派，人们才通过柏拉图、希罗多特斯等人的著作间接知悉毕派的活动。英国学者贝尔纳在其名著《历史上的科学》一书中指出：“但可怀疑的是，毕达哥拉斯数学里究竟有多少属于他自己的。肯定地，他的著名的直角三角形定理曾是埃及人所十分熟悉的实用法则，而巴比伦人还制成长篇的毕达哥拉斯三角形表。”

　　相传毕达哥拉斯生于公元前585 年。然而。按我国现存最古老的算书《周髀算经》《以下简称《周髀》）的记载，早在公元前11世纪西周开国时代，有个名叫商高的“大夫”已经明确指出了“勾三股四径五”的关系。比毕达哥拉斯要早500 年！

　　“髀”原义为股骨，这里指的是古代测量日影的表尺：“周髀”则意为记载从周代传下来的一些天文测量算法。汉唐时代，《周髀》一直被列入《算书十经》之首。该书分上下两卷，是“盖天论”的代表作。全书以西周开国功臣周公与商高的一段对话开始。这段对话生动地描绘出一位贤明谦恭的政治家和一位渊博睿智的学者的鲜明形象，至今读来饶有兴味。

　　周公先问商高，听说他精通数学，古时候伏羲氏测天制历，而天无台阶可攀，地难尺寸度量，请问数从何而来？商高回答说是通过测量计算而得出的。而测量工具“矩”是将一条木头按三、四、五比例分为三段做成的直角三角形。“折矩以为勾。广三，股修四，径隅五”。“故禹之所以治天下者，此数之所生也”。周公又“请问用矩之道”，商高详细讲解了各种用矩测量的方法。最后周公叹服地说：“善哉！”

　　这段对话不仅揭示了勾股径的关系，而且充分体现了中国古代数学的特点：形与数结合，理论与应用结合。

　　如果说，商高仅得到“三四五”这一勾股定理的特例，那么在《周髀》卷上之二中，通过另外两个人陈子与荣方对如何测量太阳到地球距离的讨论，进一步得到“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得斜至日”，这已经是勾股定理的一般形式了。

　　《周髀》的上述记载是否可靠？历来无定论。

　　首先，对《周髀》本身的成书时代存在不同看法。该书卷上之三提到过“吕氏”，据认为是吕不韦，可见成书不早于秦始皇时代。而为《周髀》首次作注的是后汉人赵爽。另外，蔡邕在其著作《表志》（已失传）中也引用过《周髀》，故此书成书不迟于汉末。目前多数专家认为“它成书的年代当不晚于公元前一世纪。”（杜石然《中国古代数学名著简介》）不过，历来也有不少人认为，尽管最终成书在汉末，主要内容却取自周代的数学天文书籍。南宋鲍瀚之在《周髀算经跋》中甚至说“其书出于商周之间”。西方数学史家持此论者也不乏其人，如史密斯的《数学史》和伊夫思的《数学史导论》即从此说。

　　人们注意到，在《汉书。艺文志》中并未列入《周髀》，究竟当时此书还未诞生，还是经过秦始皇焚书流落民间而失传，还是班固认为此书不重要而忽略？人们还注意到，《汉书。艺文志》中载有18种历法，22种天文学书籍，可惜均已失传。它们是否与《周髀》名异而实同？或者包含了《周髀》的主要内容？更有价值的问题是，商高和陈子、荣方其人其语是否子虚乌有？因为在先秦史籍中未见记载。如果说商高是周公同时代人，那么陈子和荣方更难考证。赵爽认为陈子“是周公之后人”，并推断他生活在周成王之后；近人章鸿钊则认为他是公元前六七世纪的人，比毕达哥拉斯也要早些。

　　根据考古发现及其他史籍记载，周代的天文测量历算达到《周髀》所描述的水平完全可能。《周札》卷十《地官。大司徒》有如下记载：“正日景（同”影“）以求地中，日南则景短，多暑；日北则景长，多寒”，“日至之景尺有五寸，谓之地中”。而《周髀》说：“立竿测影……法曰：周髀长八尺，勾之损益，寸千里。”两者何其相似。曹魏著名数学家刘徽在《九章算术注》的序中指出，周代设有“大司徒”职，任务之一就是在夏至日立表观测日地距。至今河南登封县还有周代观景台遗址。《周髀》中周公称商高为“善数”的“大夫”，说明商高完全可能是主管天文测量和历算的官员。

　　《周髀》中荣方对陈子说：“今者窃闻夫子之道，知日之高大。光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤。夫子之道，皆能知之。”可见陈子也是精通天文历算的学者。顺便指出，大约也在公元前6世纪，被西方誉为“测量之租”的塔利斯曾利用日影测量金字塔高，埃及王惊叹不已。其实金字塔在地面，既可走近，又能攀登，与陈子测

　　日高相比，真是小巫见大巫了！

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